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1 概率论基础1

1.1 基本概念1

1.1.1 概率的概念1

1.1.2 概率的性质1

1.2 随机变量 概率分布 统计平均2

1.2.1 随机变量的概念2

1.2.2 数学期望3

1.2.3 几个常用的分布函数3

1.3 中心极限定理lèvy分布4

1.3.1 特征函数4

1.3.2 中心极限定理4

1.3.3 lèvy分布5

1.4 时间链与马尔可夫过程6

1.4.1 跃迁概率密度6

1.4.2 纯粹随机过程7

1.4.3 马尔可夫过程7

1.5 维纳—钦欣定理7

2 布朗运动的动力学描述——朗之万方程9

2.1 布朗运动和扩散现象9

2.1.1 布朗运动的实验现象9

2.1.2 爱因斯坦对布朗运动的解释10

2.1.3 阿伏伽德罗常数的测量11

2.1.4 用计算机模拟布朗粒子的运动12

2.2.2 经典朗之万方程的简单应用13

2.2 布朗运动的动力学描述——朗之万方程13

2.2.1 经典朗之万方程的建立13

2.2.3 热力学噪声的简单介绍14

2.3 昂斯坦—乌伦贝克过程（L.S.Onstein-G.E.Uhlenbeck）15

2.3.1 乌伦贝克过程的形式解15

2.3.2 矩的计算16

2.3.3 关联函数16

2.3.4 傅里叶变换解（Rice's方法）17

2.4 非线性朗之万方程17

2.5 朗之万方程的数值解18

3.1.1 克莱默斯—莫依尔展式21

3.1 福克—普朗克方程的导出21

3 福克—普朗克方程21

3.1.2 从朗之万方程推导福克—普朗克方程22

3.1.3 从主方程导出福克—普朗克方程23

3.2 福克—普朗克方程解的基本形式24

3.2.1 线性和稳定情形下的几率流24

3.2.2 短时间隔的跃迁密度函数25

3.2.3 路径积分求解几率密度分布函数26

3.3 多变量的福克—普朗克方程27

3.4 福克—普朗克方程解的几种解29

3.4.1 标度理论30

3.4.2 定态解30

3.4.3 昂斯坦—乌伦贝克过程31

3.4.4 特征函数方法33

3.5 福克—普朗克方程的简化（坐标缩并）35

3.6 绝热近似37

3.7 克莱默斯方程的解40

3.7.1 克莱默斯方程的形式41

3.7.2 克莱默斯方程在谐振子势中的解43

3.8 势阱中的布朗粒子的扩散45

4 涨落耗散理论48

4.1 爱因斯坦关系48

4.2 经典朗之万方程与随机力49

4.3 广义朗之万方程51

4.4 线性响应理论53

4.5 涨落耗散定理55

4.6 力的关联58

4.7 量子布朗运动的主要特征59

4.7.1 量子涨落耗散定理及其含义60

4.7.2 阻尼谐振子中的量子耗散61

4.7.3 非线性量子系统中的耗散——广义的量子朗之万方程64

4.7.4 路径积分与影响作用量69

5 布朗运动的连续时间无规行走描述72

5.1 经典的随机行走模型72

5.2 连续时间随机行走模型77

5.3.2 标准长尾分布的方均位移和扩散的分类81

5.3.1 标准长尾分布的模型81

5.3 标准长尾分布的连续时间随机行走模型81

5.3.3 标准长尾分布的密度函数82

5.4 标准长尾分布导致的非马尔可夫过程84

5.5 马尔可夫与非马尔可夫演化88

6 反常扩散现象91

6.1 朗之万方程与反常扩散的描述91

6.2 随机环境中的lèvy飞行97

6.2.1 “淬火近似”的朗之万方程的描述97

6.2.2 “淬火近似”的福克—普朗克方程的描述（微扰理论）98

6.3 分数微分方程和分数波动方程100

6.3.1 分数扩散和波动方程100

6.3.2 分数扩散和波动方程的一般求解102

6.3.3 分数扩散方程的特殊性质107

6.3.4 半空间中的分数扩散109

6.4 分数主方程所描述的反常扩散112

6.5 分数动力学方程的解及其应用114

6.5.1 分数导数和分数积分的定义、性质115

6.5.2 分数动力学方程118

6.5.3 特殊情况的分数动力学方程导致的布朗粒子的运动特征120

6.5.4 分数动力学方程的解122

6.5.5 分数动力学方程的解的标量性质123

6.6 分数福克—普朗克方程125

6.6.1 关于时间的分数福克—普朗克方程的引入126

6.6.2 关于时间的分数福克—普朗克方程的求解129

6.6.3 分数福克—普朗克方程的应用130

6.6.4 布朗粒子的首通时间134

6.7 在外力场中的lèvy飞行135

6.7.1 lèvy飞行现象135

6.7.2 自由场中的lèvy飞行136

6.7.3 恒力场中的lèvy飞行138

6.7.4 谐振子势中的lèvy飞行140

6.8 连续时间随机行走对反常扩散的描述142

6.8.1 连续时间随机行走CTRW模型的回顾142

6.8.2 长等待与欠扩散143

6.8.3 长跳跃与lèvy飞行145

6.8.4 长等待和长跳跃之间的竞争146

6.9 广义统计热力学对反常扩散的描述147

6.9.1 广义商的定义147

6.9.2 内能约束的选择149

6.9.3 q关联的广义商与分数指数的方均位移155

7 蒙特卡罗数值模拟方法156

7.1 产生随机子样的基本方法159

7.1.1 由已知分布产生随机子样159

7.1.2 筛选抽样方法161

7.1.3 变换抽样方法163

7.1.4 近似抽样方法164

7.2.1 求解朗之万方程165

7.2 用蒙特卡罗方法求解随机微分方程165

7.2.2 求解福克—普朗克方程（FPE）169

7.2.3 随机的龙格—库塔算法171

7.3 蒙特卡罗方法对主方程的模拟173

7.3.1 蒙特卡罗方法对主方程差分解的模拟173

7.3.2 蒙特卡罗对主方程的直接模拟176

8 分子布朗马达178

8.1 分子马达的基本概念和现象179

8.1.1 斯莫洛克沃斯基棘轮—费曼棘轮179

8.1.2 倾斜的斯莫洛克沃斯基—费曼棘轮185

8.1.3 弱噪声极限187

8.1.4 温度棘轮和棘轮效应188

8.1.5 渐进分析191

8.1.6 流的反转193

8.1.7 居里（Curie）原则和布里渊（Brillouin）佯谬195

8.2 分子马达的一般结构196

8.2.1 模型196

8.2.2 对称性198

8.2.3 主要的棘轮类型199

8.2.4 分子马达的热力学环境201

8.2.5 非平衡扰动204

8.2.6 超对称205

8.2.7 流逆转的修正208

8.2.8 势垒隧穿极限209

8.3.1 闪烁的快、慢极限210

8.3 闪烁棘轮210

8.3.2 闪烁棘轮的构造211

8.4 倾斜棘轮218

8.4.1 涨落力棘轮220

8.4.2 摇摆棘轮223

8.4.3 惯性的影响223

8.4.4 二维系统与商棘轮224

8.4.5 超扩散225

8.4.6 受分叉噪声调制的温度棘轮226

8.4.7 漂移棘轮227

8.5 生物分子马达228

8.5.1 分子马达的生物学模型229

8.5.2 泛醌（辅酶Q）的扩散（跨膜输运问题）230

8.6 布朗马达的效率236

8.6.1 布朗马达效率的渐进解析形式——与卡诺效率的比较236

8.6.2 周期势驱动的布朗马达的整流效率241

8.6.3 周期驱动布朗马达整流效率245

9 Matlab基础248

9.1 Matlab应用的环境248

9.1.1 Matlab的安装248

9.1.2 Matlab的操作桌面简介248

9.2 Matlab基础249

9.2.1 命令窗操作初步249

9.3.1 矩阵和数组257

9.3 Matlab的数值计算257

9.3.2 利用矩阵运算求解线性方程组259

9.3.3 微分的数值运算261

9.3.4 积分的数值运算262

9.4 数据可视化处理264

9.4.1 二维绘图的基本知识265

9.4.2 三维绘图基本知识267

9.4.3 曲面模型的建立269

9.4.4 绘图工具—交互绘图269

9.5 对微分方程的求解270

9.5.1 微分方程的解析解法270

9.5.2 微分方程的数值解法272

9.6 Matlab编程基础273

9.7 积分变换276

9.7.1 拉普拉斯变换276

9.7.2 傅里叶变换277

9.7.3 梅林变换278

9.7.4 汉克尔变换279

9.7.5 Z变换280

9.8 概率论与数理统计问题的matlab求解281

9.8.1 概率分布与伪随机数的生成281

9.8.2 随机动力学的计算机模拟282

参考文献288