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目录1

第8章 多元函数及其微分法1

8.1 函数、极限、连续、偏导数1

8.1.1 内容提要1

1 函数的定义1

2 二元函数的极限定义1

6 高阶偏导数2

5 偏导数的定义（以二元函数为例）2

4 二元连续函数的性质2

3 二元函数的连续定义2

8.1.2 例题分析3

1 函数概念中的一些问题、函数的符号运算3

2 函数的定义域6

3 有关二元函数极限中的一些问题9

4 有关偏导数中的一些问题13

5 求偏导数17

1 全增量的定义19

8.2 全微分及其在近似计算中的应用19

8.2.1 内容提要19

2 全微分的定义20

3 可微的定义、近似计算公式20

4 方向导数的定义21

5 方向导数的计算公式21

8.2.2 例题分析21

1 偏导数与全微分的关系21

2 求全微分24

3 全微分在近似计算中的应用24

4 方向导数28

8.3 多元函数的微分法30

8.3.1 内容提要30

1 复合函数的微分法30

2 隐函数的微分法31

1 由具体函数所构成的复合函数的微分法32

8.3.2 例题分析32

2 由抽象函数所构成的复合函数的微分法34

3 既有具体函数又有抽象函数所构成的复合函数的微分法36

4 抽象函数的二阶偏导数39

5 隐函数的微分法41

8.4 曲面的切平面、空间曲线的切线48

8.4.1 内容提要48

1 曲面的切平面48

2 空间曲线的切线48

8.4.2 例题分析49

1 空间曲线的切线与法平面方程49

2 曲面的切平面与法线52

8.5 极值56

8.5.1 内容提要56

1 极值定义56

4 条件极值57

3 极值点的充分条件57

2 函数f极值点的必要条件57

8.5.2 例题分析58

1 有关极值概念中的一些问题58

2 极值与最值59

3 具有一个约束条件的条件极值问题63

4 具有两个约束条件的条件极值问题65

8.6 综合题、杂题66

8.7 习题与答案72

8.7.1 习题72

8.7.2 答案79

第9章 重积分83

9.1 二重积分83

9.1.1 内容提要83

1 二重积分定义83

2 二重积分性质83

3 二重积分的计算方法——累次积分法84

4 二重积分的几何意义86

1 直角坐标中化二重积分为累次积分87

9.1.2 例题分析87

2 极坐标中化二重积分为累次积分93

3 二重积分的计算96

4 积分区域的对称性及被积函数的奇偶性的利用103

5 被积函数中绝对值的处理107

6 二重积分的几何应用108

7 二重积分中等式或不等式的证明111

8 综合题116

9.2 三重积分120

9.2.1 内容提要120

1 定义120

2 计算方法121

9.2.2 例题分析122

1 在直角坐标下的定限及计算122

3 几何意义122

2 在直角坐标系中交换积分次序123

3 在柱面坐标、球面坐标中的计算127

4 积分区域对称性及被积函数奇偶性的利用130

5 几何应用133

6 证明题、综合题135

9.3 重积分的物理应用141

9.3.1 内容提要141

1 质量141

2 静力矩和质心142

3 转动惯量143

4 引力143

9.3.2 例题分析144

1 静力矩和质心144

2 转动惯量148

3 引力151

9.4.1 习题156

9.4 习题与答案156

9.4.2 答案162

第10章 曲线积分和曲面积分166

10.1 曲线积分166

10.1.1 内容提要166

1 对弧长的曲线积分（第一型曲线积分）166

2 对坐标的曲线积分（第二型曲线积分）168

3 两类曲线积分之间的关系170

10.1.2 例题分析170

1 对弧长的曲线积分170

2 对坐标的曲线积分176

10.2 格林公式、积分与路径无关的充要条件182

10.2.1 内容提要182

1 格林公式182

2 曲线积分与路径无关的等价条件182

1 L是简单封闭曲线的情况183

10.2.2 例题分析183

2 L不是封闭曲线的情况184

3 积分与路径无关187

4 复连域的情况190

5 综合题195

10.3 曲面积分200

10.3.1 内容提要200

1 对曲面面积的曲面积分（第一型曲面积分）200

2 对坐标的曲面积分（第二型曲面积分）201

3 两类曲面积分的关系203

10.3.2 例题分析203

1 对面积的曲面积分203

2 对坐标的曲面积分214

10.4 高斯公式、斯托克斯公式及它们的应用219

10.4.1 内容提要219

1 高斯公式219

2 斯托克斯公式219

3 空间曲线积分与路径无关的条件220

1 高斯公式及其应用221

10.4.2 例题分析221

2 斯托克斯公式及其应用226

10.5 场论初步232

10.5.1 内容提要232

1 梯度232

2 通量和散度232

3 环流量和旋度232

4 有势场和势函数233

10.5.2 例题分析233

1 方向导数和梯度233

2 通量与散度236

3 环流量与旋度238

10.6 习题与答案240

10.6.1 习题240

10.6.2 答案247

2 部分和概念，收敛、发散概念250

1 无穷级数概念250

3 级数收敛的必要条件250

11.1 数项级数的基本概念250

11.1.1 内容提要250

第11章 级数250

4 级数的基本性质251

11.1.2 例题分析251

1 利用级数的收敛性定义判断级数的收敛性251

2 利用级数的性质判断级数的收敛性254

11.2 同号级数收敛性的判别法258

11.2.1 内容提要258

1 定义258

2 定理258

3 正项级数收敛性的判别法258

11.2.2 例题分析259

1 利用比较法及其极限形式判断级数收敛性259

2 利用达朗贝尔判别法、柯西判别法及柯西积分判别法判敛262

3 证明题、杂题267

11.3 交错级数与任意项级数273

11.3.1 内容提要273

1 定义273

2 绝对收敛与条件收敛273

3 莱布尼兹判别法273

11.3.2 例题分析273

1 交错级数收敛、条件收敛273

与绝对收敛273

2 综合题、杂题283

11.4 函数项级数的一般概念291

11.4.1 内容提要291

1 定义291

2 一致收敛概念292

3 和函数的解析性质292

11.4.2 例题分析293

1 求函数项级数的收敛域293

2 判别函数项级数的一致收敛性297

11.5 幂级数的收敛半径、收敛域及和函数301

11.5.1 内容提要301

1 定义301

2 阿贝尔定理301

3 收敛区间301

4 幂级数的运算性质302

11.5.2 例题分析302

1 求幂级数的收敛域302

2 求幂级数的和函数306

11.6 函数的幂级数展开式、幂级数的应用314

11.6.1 内容提要314

1 定义314

2 性质314

3 几个重要函数的麦克劳林级数314

11.6.2 例题分析315

1 将函数展开成幂级数315

2 幂级数在近似计算中的应用322

3 综合题、杂题324

11.7 傅里叶级数329

11.7.1 内容提要329

1 定义329

2 收敛定理——狄利克雷充分条件330

11.7.2 例题分析331

1 将f（x）在［－π，π］上展成傅里叶级数331

2 将f（x）在［0，π］上展成正弦级数与余弦级数335

3 将f（x）在［0，l］上展成傅里叶级数340

11.8 习题与答案344

11.8.1 习题344

11.8.2 答案352

1 常微分方程和偏微分方程359

3 通解（通积分）和特解359

2 解和隐式解359

12.1 基本概念359

第12章 常微分方程359

12.1.1 内容提要359

4 积分曲线和积分曲线族360

12.1.2 例题分析360

12.2 一阶微分方程及初等解法368

12.2.1 内容提要368

1 存在性及惟一性定理368

2 可以用初等解法求解的一阶微分方程368

1 类型（1）～（5）的一阶方程求解372

12.2.2 例题分析372

2 做适当变换求解一阶方程382

3 一阶线性微分方程的解的定性理论385

4 一阶微分方程的物理、几何应用392

5 综合题、杂题397

12.3 高阶微分方程399

12.3.1 内容提要399

1 存在性和惟一性定理399

3 二阶线性方程的存在性和惟一性定理400

2 3种最简单的高阶方程类型400

4 二阶线性齐次方程的通解结构401

5 二阶线性非齐次方程的通解结构401

6 n阶线性方程的一般理论401

12.3.2 例题分析402

1 利用降阶法求解高阶微分方程402

2 高阶方程的物理应用405

3 如何求解二阶线性变系数微分方程407

4 二阶线性微分方程解的定性理论411

5 有关函数组的朗斯基行列式414

6 综合题、杂题417

12.4 常系数线性方程（组）423

12.4.1 内容提要423

1 一般形式423

2 二阶常系数线性齐次方程423

3 二阶常系数线性非齐次方程424

5 常系数线性微分方程组425

4 欧拉方程425

12.4.2 例题分析426

1 如何求常系数线性齐次方程的通解426

2 如何求常系数线性非齐次方程的通解和特解428

3 如何利用特征根反求微分方程433

4 二阶常系数线性微分方程的物理应用435

5 如何求解欧拉方程440

6 如何求解微分方程组443

7 综合题、杂题447

12.5 习题与答案453

12.5.1 习题453

12.5.2 答案472

自我检查题及解答481

自我检查题（3）481

自我检查题（3）解答482

自我检查题（4）491

自我检查题（4）解答493