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第1章　函数与模型1

1.1　函数1

1.1.1　函数的概念及其表示法1

1.1.2　函数的几种特性6

1.1.3　基本初等函数及其性质8

1.1.4　函数的复合10

1.1.5　反函数11

1.1.6　初等函数13

习题1.1（A）14

习题1.1（B）16

1.2　简单数学模型举例17

1.2.1　线性函数模型17

1.2.2　指数函数模型20

习题1.2（A）23

习题1.2（B）23

1.3　演示与实验24

1.3.1 Mathematica的启动运行和帮助系统25

1.3.2　常用语法规则简介28

1.3.3　Mathematica计算举例30

1.3.4　在Mathematica中定义函数31

1.3.5　用Mathematica绘制函数图形32

1.3.6　曲线拟合36

习题1.337

第2章　函数极限与连续38

2.1　极限38

2.1.1　数列的极限38

2.1.2　函数的极限43

2.1.3　函数的左极限与右极限47

2.1.4　极限的性质48

2.1.5　极限的运算法则49

习题2.1（A）52

习题2.1（B）53

2.2　两个重要极限54

习题2.2（A）57

习题2.2（B）58

2.3　无穷小量与无穷大量58

2.3.1　无穷小量58

2.3.2　无穷大量59

2.3.3　无穷小量的阶的比较59

习题2.3（A）61

习题2.3（B）62

2.4　函数的连续性62

2.4.1　函数的连续性与连续函数63

2.4.2　函数的间断点65

2.4.3　闭区间上连续函数的性质66

习题2.4（A）68

习题2.4（B）69

2.5　演示与实验70

2.5.1　用Mathematica计算极限70

2.5.2　数列极限过程演示72

2.5.3　用对分区间法求方程在某个区间的根76

习题2.577

第3章　导数与微分79

3.1　导数79

3.1.1　导数概念的引入79

3.1.2　导数的定义81

3.1.3　可导与连续的关系84

习题3.1（A）86

习题3.1（B）87

3.2　导函数87

3.2.1　导函数定义87

3.2.2　高阶导数91

习题3.2（A）93

习题3.2（B）94

3.3　求导法则95

3.3.1　四则运算法则95

3.3.2　复合函数求导法98

3.3.3　隐函数求导法101

3.3.4　由参数方程表示的函数的导数105

习题3.3（A）108

习题3.3（B）110

3.4　微分与线性近似111

3.4.1　微分的定义111

3.4.2　线性近似和近似计算113

3.4.3　牛顿法简介114

习题3.4（A）116

习题3.4（B）117

3.5　演示与实验117

3.5.1　利用Mathematica求函数导数117

3.5.2　用Mathematica演示导数的几何意义119

3.5.3　牛顿法求方程的根120

习题3.5122

第4章　微分中值定理和导数的应用124

4.1　微分中值定理124

4.1.1　罗尔（Rolle）中值定理124

4.1.2　拉格朗日（Lagrange）中值定理125

4.1.3　柯西（Cauchy）中值定理128

习题4.1（A）129

习题4.1（B）130

4.2　洛必达法则130

4.2.1　关于0/0型及∞/∞型不定式的洛必达法则131

4.2.2　其他类型的不定式的极限133

习题4.2（A）137

习题4.2（B）137

4.3 函数的单调性与函数图形的凸性138

4.3.1　函数单调性及其判别法138

4.3.2　函数图形的凸性与曲线的拐点141

习题4.3（A）144

习题4.3（B）145

4.4　极值与优化145

4.4.1　函数的极值146

4.4.2　函数的最大、最小值149

4.4.3　最优化问题150

习题4.4（A）152

习题4.4（B）153

4.5　不等式的证明154

4.5.1　利用微分中值定理证明不等式154

4.5.2　利用函数的单调性证明不等式155

4.5.3　利用函数的极值与最值证明不等式156

4.5.4　利用函数图形的凸性证明不等式157

习题4.5（A）157

习题4.5（B）158

4.6　变化率问题158

4.6.1　相关变化率158

4.6.2　平面曲线的曲率161

习题4.6（A）167

习题4.6（B）168

4.7　导数在经济学中的应用169

4.7.1　边际与边际分析169

4.7.2　弹性与弹性分析171

习题4.7（A）173

习题4.7（B）174

4.8　演示与实验175

4.8.1　利用导数分析函数的单调性、函数图形的凸性和渐近线175

4.8.2　局部极值命令介绍176

习题4.8177

第5章　积分178

5.1　定积分的概念与基本性质178

5.1.1　引例178

5.1.2　定积分的定义180

5.1.3　定积分的基本性质182

习题5.1（A）184

习题5.1（B）185

5.2　原函数与微积分基本定理185

5.2.1　原函数与变上限积分186

5.2.2　牛顿－莱布尼茨公式　不定积分188

习题5.2（A）191

习题5.2（B）191

5.3　基本积分法191

5.3.1　直接积分法193

习题5.3.1（A）194

习题5.3.1（B）194

5.3.2　第一类换元法195

习题5.3.2（A）199

习题5.3.2（B）200

5.3.3　第二类换元法200

习题5.3.3（A）206

习题5.3.3（B）206

5.3.4　分部积分法207

习题5.3.4（A）210

习题5.3.4（B）211

5.3.5　数值积分简介211

习题5.3.5（A）215

习题5.3.5（B）216

5.4　反常积分216

5.4.1　无限区间上的反常积分216

5.4.2　无界函数的反常积分220

习题5.4（A）222

习题5.4（B）222

5.5　演示与实验223

5.5.1　定积分的定义223

5.5.2　微积分基本定理224

5.5.3　用Mathematica计算积分225

习题5.5227

第6章　定积分的应用228

6.1　平面图形的面积228

6.1.1　元素法228

6.1.2　平面图形面积229

习题6.1（A）233

习题6.1（B）234

6.2　体积234

6.2.1　平行截面面积为已知的立体体积234

6.2.2　旋转体的体积236

习题6.2（A）241

习题6.2（B）242

6.3　平面曲线的弧长243

习题6.3（A）244

习题6.3（B）245

6.4　旋转曲面的面积245

习题6.4（A）247

习题6.4（B）247

6.5　物理上的应用248

6.5.1　功248

6.5.2　液体的静压力251

习题6.5（A）253

习题6.5（B）254

6.6　在经济学中的应用254

6.6.1　由边际函数求原函数254

6.6.2　收入流和支出流的现值与将来值256

6.6.3　消费者剩余和生产者剩余257

习题6.6（A）259

习题6.6（B）259

6.7　演示与实验260

6.7.1　近似计算旋转体体积260

6.7.2　利用数学软件求解实际问题261

习题6.7263

第7章　微分方程264

7.1　微分方程的基本概念264

习题7.1（A）266

习题7.1（B）266

7.2　一阶微分方程266

7.2.1　变量可分离的微分方程266

7.2.2　齐次型微分方程268

7.2.3　一阶线性微分方程269

7.2.4　欧拉法272

习题7.2（A）275

习题7.2（B）276

7.3　一阶微分方程的应用举例276

习题7.3（A）280

习题7.3（B）280

7.4　高阶微分方程的降阶法281

习题7.4（A）283

习题7.4（B）284

7.5　二阶线性微分方程解的结构284

7.5.1　二阶线性齐次微分方程解的结构284

7.5.2　二阶线性非齐次微分方程解的结构286

习题7.5（A）287

习题7.5（B）287

7.6　二阶常系数线性微分方程288

7.6.1　二阶常系数线性齐次微分方程的解法288

7.6.2　二阶常系数线性非齐次微分方程的解法290

习题7.6（A）294

习题7.6（B）294

7.7　二阶微分方程的应用举例295

习题7.7（A）300

习题7.7（B）300

7.8　演示与实验301

7.8.1　微分方程的符号解法301

7.8.2　微分方程的数值解法302

7.8.3　导弹追踪飞机问题304

习题7.8305

微积分应用课题306

附录A　积分表312

附录B　极坐标系简介 几种常用曲线的极坐标方程321

附录C　本书所配光盘的使用方法323

习题参考答案325