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目 录1

第十四章无穷级数1

§1 数项级数的概念和性质1

1.1基本概念1

1.2级数的简单性质5

1.3收敛的必要条件7

1.4哥西收敛原理（哥西准则）8

习题9

§2正项级数的收敛判别法11

习题二22

§3任意项级数的收敛判别法23

3.1 交错级数24

3.2绝对收敛与条件收敛26

3.3狄里克雷判别法和阿贝尔（Abel）判别法29

习题三35

§4绝对收敛级数的性质37

4.1 可交换性38

4.2级数的乘法40

习题四44

§5函数项级数44

5.1 函数序列44

5.2函数项级数53

5.3一致收敛级数的性质64

习题五72

§6幂级数73

6.1 幂级数的收敛域和收敛半径73

6.2收敛半径的求法77

6.3幂级数的性质80

习题六89

§7泰勒级数90

7.2初等函数的泰勒展开式91

7.1泰勒级数91

7.3幂级数的简单应用104

§8欧拉公式106

习题七108

第十五章含参变量的积分110

§1 含参变量的常义积分111

1.1 积分限固定的情形111

1.2积分限变动的情形116

习题一119

§2含参变量的广义积分120

2.1 含参变量的无穷积分120

2.2含参变量的瑕积分139

习题二141

第十六章富里埃（Fourier）级数与富里埃积分144

§1富里埃级数144

1.1 三角函数系的正交性145

1.2富氏系数与富氏级数146

1.3富氏级数的收敛性148

1.4 函数的富里埃展开式举例150

1.5奇、偶函数的富氏级数155

1.6周期为2l的函数的富氏展开式160

1.7函数在半区间［ο,ι］上的富氏展开式165

习题一172

§2复数形式的富氏级数173

2.1 频谱分析——富氏级数的应用之一173

2.2复数形式的富氏级数175

2.3两种形式的富氏级数的比较178

2.4利用复数形式的富氏级数作频谱分析180

习题二182

§3*广义富氏级数简介183

3.1标准正交系183

3.2 广义富氏系数与广义富氏级数184

3.3平均平方误差与平均平方逼近186

3.4贝塞尔（Bessel）不等式187

3.5富氏级数的平均平方收敛190

3.6帕斯瓦 尔（Parseval）等式191

§4富里埃积分192

4.1 富里埃积分与富里埃变换192

4.2富氏积分收敛定理197

4.3非周期函数的频谱分析200

4.4富氏积分的三角形式（或实数形式）203

4.5 奇、偶函数的富氏积分与富氏变换204

4.6 函数在半区间［0,+∞］上的富氏积分205

习题三208

§5富氏变换的基本性质209

习题四216

§1微分方程的一些基本概念218

1.1微分方程218

第十七章常微分方程218

1.2微分方程的解221

习题一222

§2可分离变量的方程223

2.1 可分离变量的方程224

2.2可化为分离变量方程的几类一阶方程229

习题二233

§3一阶线性方程235

3.1一阶线性齐次方程的解法236

3.2用常数变易法求解一阶线性非齐次方程236

习题三241

§4全微分方程242

4.1全微分方程242

4.2某几类积分因子的求法248

习题四251

§5可解出导数的一阶隐式方程253

§6 可降阶的二阶微分方程254

习题五………………………………………………………257

§7 已解出导数的一阶微分方程的解的存在唯一性定理257

7.1比卡逐次逼近法257

7.2比卡存在唯一性定理259

习题六267

§8 二阶线性微分方程通解的结构267

8.1 几个实例267

8.2线性微分方程解的存在唯一性定理271

8.3二阶线性齐次微分方程通解的结构272

8.4二阶线性非齐次微分方程通解的结构274

§9常系数二阶线性齐次微分方程的解法275

习题七281

§10常系数二阶线性非齐次微分方程的求解281

10.1 几种特殊的非齐次项282

10.2其它几种非齐次项286

10.3两个常用定理289

§11 用常数变易法求解二阶线性非齐次方程292

习题八297

§12应用举例298

12.1利用物理定律列方程298

12.2利用导数的几何意义列方程299

12.3利用微元法列方程301

12.4 关于二阶微分方程的几个实例303

习题九309

§13常系数线性微分方程组311

13.1实例311

13.2一阶线性微分方程组312

13.3用消元法求解常系数线性微分方程组313

习题十320

附录微分方程的幂级数解法简介322

习题328

习题答案329