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第一章 定解问题的提法1

1偏微分方程举例和基本概念1

偏微分方程举例1

基本概念2

习题3

2热传导方程及其定解问题4

热传导问题的提出4

热传导方程5

热传导方程的定解条件8

热传导方程的典型定解问题10

低维热传导方程及其定解问题11

习题13

3波动方程及其定解问题14

波动方程的物理背景14

弦的微小横振动方程14

弦振动方程的定解条件17

弦振动方程的典型定解问题20

二维和三维波动问题20

习题22

4位势方程及其定解问题22

位势方程22

典型定解问题23

习题24

5衔接条件和方程的分类与标准型24

衔接条件24

二阶线性偏微分方程的分类与标准型26

习题32

6适定性概念和课程的基本内容33

适定性概念33

课程的基本内容34

第二章 行波法38

1 Duhamel原理38

Duhamel原理38

Duhamel原理的物理背景39

题40

2一维波动问题41

无界弦的自由振动41

无界弦的强振动43

习题45

3空间波动方程46

球面波方程46

空间齐次波方程47

空间非齐次波动方程50

二维波动问题52

习题54

4波动问题解的物理性质55

D Alembert公式的物理意义55

依赖区域、决定区域和影响区域58

空间波传播的物理性质60

二维波传播的物理性质61

第三章 分离变量法63

1常微齐边值条件的本征值问题63

第一齐边值条件的本征值问题63

第二齐边值条件的本征值问题65

习题66

2Legendre方程的本征值问题68

本征值问题（2.1）—（2.2）的解68

与Legendre多项式68

Legendre多项式的基本性质75

习题85

3波动方程的第一边值问题89

齐方程齐边值条件的情形89

非齐方程齐边值条件的情形92

非齐方程非齐边值条件的情形95

解的物理意义97

习题99

4热传导方程的第二边值问题一101

齐边值条件的情形101

非齐边值条件的情形104

习题105

5位势方程的第一边值问题105

圆域上的第一边值问题106

球对称情形下的第一边值问题110

习题120

第四章 Fourier变换和Laplace变换122

1积分变换的一般概念122

基本定义122

常见的积分变换123

积分变换的作用125

2 Fourier积分公式126

Fourier积分公式的形式推导126

Fourier积分公式成立的充分条件128

习题131

3 Fourier变换133

Fourier变换的概念133

Fourier变换的基本性质133

多重Fourier变换136

习题137

4 Fourier变换的应用138

齐方程的初值问题138

非齐方程的初值问题140

半无界区间上的边值问题141

习题144

5 Laplace变换145

Laplace变换的形式推导145

存在定理与反演公式147

展开定理151

习题161

6 Laplace变换的基本性质及其应用162

Laplace变换的基本性质162

热传导方程的初值问题170

热传导方程的混合问题175

习题177

第五章 Green函数法179

1 δ-函数179

δ-函数的定义179

δ-函数的物理意义180

δ-函数作为普通函数的弱极限181

弱相等概念和δ-函数的性质185

高维δ-函数188

习题189

2解初值问题的Green函数法190

基本思想190

解一维初值问题的Green函数法191

解三维初值问题的Green函数法195

习题199

3解边值问题的Green函数法199

Green公式199

点源场200

Green函数及其物理意义202

Green函数法203

求Green函数的静电源象法207

Green函数的对称性211

习题214

第六章 变分原理与变分方法218

1单积分型泛函的变分问题218

模型问题218

变分问题的确切提法220

变分原理——Euler方程223

泛函的变分227

二阶变分和极值函数的充分条件228

习题230

2重积分型泛函的变分问题231

极小曲面问题231

变分问题及其原理232

J（u）的一阶变分236

习题237

3条件极值238

等周问题238

一般变分问题239

等周问题的解241

习题243

4自然边值条件244

变动端点问题的自然边值条件244

变动边值问题的自然边值条件247

更一般的泛函的自然边值条件248

习题251

5变分法与数学物理定解问题252

极值原理252

膜的微小横振动方程253

习题255

6边值问题与变分问题255

变分方法大意255

常微边值问题对应的变分问题255

Poisson方程对应的变分问题258

7解变分问题的直接方法259

一个边值问题解的存在与唯一性259

直接方法的基本思想261

作极小函数列的Ritz方法261

解变分问题的Ritz方法296

解变分问题的Galerkin方法270

习题273

8解本征值问题的变分方法274

本征值和本征函数的一些性质274

本征值问题与变分问题276

本征值和本征函数的求法举例278

第七章 附录282

1 Furier级数的逐项微商定理282

展开定理及其推论282

基本引理283

逐项微商定理288

2形式解为真解的条件288

第三章的定解问题（3.1）—（3.3）289

第三章的定解问题（5.3）—（5.4）290

3第三章极限式（2.26）的证明292

4一个函数系的完全性证明295

5积分变换表297

提示和答案301