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1.1 引论1

1.1.1 从早期的数学怪物谈起1

第1章 引论与数学基础1

1.1.2 Mandelbrot和他的分形几何4

1.2 数学基础6

习题一10

第2章 迭代函数系统IFS11

2.1 分形空间11

2.1.1 分形空间11

2.1.2 分形空间的空备性14

2.2.1 压缩映射16

2.2 压缩映射与迭代函数系统16

2.2.2 迭代函数系统IFS20

2.3 凝聚IFS 拼贴定理 带参量IFS30

2.3.1 凝聚IFS30

2.3.2 拼贴定理33

2.3.3 带参量IFS36

习题二39

第3章 测度与维41

3.1 Hausdorff测度与维41

3.1.1 Hausdorff测度41

3.1.2 Hausdorff维45

3.1.3 Hausdorff维的等价定义48

3.2 分形维49

3.2.1 分形维的定义及其计算49

3.2.2 分形维的性质及与Hausdorff维的关系54

3.3 维的其它定义57

3.3.1 盒维（box dimension）57

3.3.2 填充（packing）测度与维61

习题三63

4.1 分形插值函数65

4.1.1 分形插值原理65

第4章 分形插值65

4.1.2 分形插值方法68

4.1.3 分形插值函数的分维数73

4.2 广义分形插值76

4.2.1 二次定比分形插值76

4.2.2 隐变量分形插值77

4.2.3 填空曲线81

4.3 分形插值曲面84

习题四86

第5章 分形上的混沌动力学88

5.1 码空间与分形88

5.1.1 码空间88

5.1.2 从码空间到分形的连续变换90

5.2.1 动力系统引论95

5.2 动力系统95

5.2.2 分形上的动力系统101

5.2.3 等价动力系统103

5.3 分形上的混沌动力系统107

5.3.1 混沌引论107

5.3.2 混沌动力系统109

习题五111

6.1 Julia集113

6.1.1 由逃逸时间（escape time）算法得到的Julia集113

第6章 分形图形学113

6.1.2 作为迭代函数系统吸引子的Julia集119

6.1.3 Newton求根法得到的Julia集123

6.1.4 连续开映射的不变集127

6.2 Mandelbrot集128

6.2.1 参数空间128

6.2.2 作为IFS吸引子参数集的Mandelbrot集131

6.2.3 作为Julia集J(λ)之参数集的Mandelbrot集134

6.3 L－系统141

6.3.1 简单的向前生成元格式141

6.3.2 左右生成元的混合格式143

6.3.3 分枝结构的简单进退格式147

6.3.4 分枝结构带空指令的进退格式148

6.4 分形图形软件包Fractint简介150

6.4.1 选择分形类型151

6.4.2 庞大的参数文件群152

6.4.3 其它重要命令和技术153

习题六154

第7章 分形学的应用156

7.1 分形图像压缩156

7.1.1 图像压缩简介156

7.1.2 分形图像压缩163

7.1.3 四叉树方法169

7.2 分形资本市场173

7.2.1 资本市场的分形时间序列174

7.2.2 资本市场的分形分布178

7.3 分形在其它学科中的应用180

7.3.1 断裂力学181

7.3.2 地震学中的分形结构与三个广义分维184

7.3.3 随机分形190

第8章 预备知识196

8.1 函数空间196

8.1.1 距离空间196

8.1.5 希耳伯特空间（Hilbert）197

8.1.4 巴拿赫（Banach）空间197

8.1.2 线性空间197

8.1.3 线性赋范空间197

8.2 基底、框架198

8.2.1 基底、标准正交基、双正交基198

8.2.2 框架199

8.3 傅里叶级数与傅里叶积分200

8.3.1 傅里叶级数的复数形式200

8.3.2 傅里叶变换201

8.3.3 傅里叶变换的性质202

8.4.1 窗口傅里叶变换的定义及局部化特性203

8.4 窗口傅里叶变换203

8.4.2 时窗、频窗和时-频窗204

8.4.3 窗函数的条件205

8.4.4 窗口傅里叶变换的反演公式207

习题八207

第9章 小波变换的概念与性质208

9.1 连续小波变换209

9.1.1 连续小波变换的定义209

9.1.2 连续小波变换的性质210

9.1.3 窗口宽度与海森堡（Heissenberg）测不准原理213

9.2.1 连续小波变换的冗余与再生核217

9.2.2 参数的离散化与离散小波变换的概念217

9.2 离散小波变换217

9.2.3 小波框架与Reisz基218

9.3 二进小波变换221

9.3.1 卷积型小波变换的定义和性质221

9.3.2 二进小波变换223

习题九226

第10章 正交小波变换227

10.1 正交小波变换的定义与特例227

10.1.1 正交小波与正交小波变换的定义227

10.1.2 Haar小波基227

10.1.3 Littewood-Paley小波基228

10.2 构造正交小波的多尺度分析229

10.2.1 Shannon小波的构造过程230

10.2.2 多尺度分析232

10.2.3 尺度函数和小波函数的性质233

10.2.4 由多尺度分析构造正交小波基238

10.3 Mallat算法242

10.3.1 函数的正交小波分解和多尺度逼近242

10.3.2 快速算法243

10.3.3 函数数值形式的多尺度分解和重构246

习题十247

11.1.1 hn,gn的性质248

第11章 紧支集小波248

11.1 紧支集正交小波的构造248

11.1.2 由共轭滤波器构造尺度函数的方法252

11.1.3 紧支集正交尺度函数的构造253

11.1.4 Daubechies小波255

11.2 紧支集双正交小波263

11.2.1 紧支集正交小波的非对称性263

11.2.2 双正交小波及其性质267

11.2.3 紧支集对称双正交小波的构造270

11.2.4 函数的双正交小波变换及其Mallat算法276

习题十一278

第12章 小波包分解279

12.1 小波包的概念与性质279

12.1.1 问题的提出279

12.1.2 小波包的定义及性质280

12.2 小波包分解283

12.2.1 L2(R)的小波包基283

12.2.2 小波包算法288

12.3 信息花费函数与最优基选择290

习题十二293

13.1.1 函数奇异性概念294

13.1 函数奇异性概念及其在小波变换下的特性294

第13章 函数的奇异性与小波变换的关系294

13.1.2 函数的奇异性在小波变换下的特性295

13.1.3 卷积型小波变换与L指数的关系297

13.2 几种检测函数奇异性常用的小波298

13.3 函数的L指数的估计300

习题十三300

第14章 二维小波变换简介302

14.1 L2(R2)空间的正交小波变换302

14.2 二维正交小波变换的Mallat算法304

习题十四306

15.1.1 检测瞬态突变307

第15章 小波分析在其它学科中的应用307

15.1 在一维信号分析中的应用307

15.1.2 非平稳信号去噪308

15.2 在二维信号（图像）处理中的应用311

15.2.1 图像的边缘检测311

15.2.2 图像数据压缩和传输313

15.3 在复杂地貌多比例尺表达中的应用315

15.3.1 应用背景和原理315

15.3.2 应用实例316

主要参考文献318